1. El Funcionamiento Interno de las Operaciones en la Computadora

Las operaciones que una computadora realiza internamente tienen características muy particulares. En esencia, todas las operaciones se llevan a cabo utilizando el sistema binario , donde los números se representan mediante bits (ceros y unos). Además, la operación fundamental que subyace a todas las demás es la suma . Esto significa que incluso operaciones como resta, multiplicación y división se reducen a sumas realizadas de manera específica.

Representación de Cantidades en la Computadora

En computación, las cantidades se expresan mediante un conjunto de bits, donde uno de ellos, conocido como el bit de signo , se utiliza para distinguir entre números positivos y negativos. La convención más común es que:

• 0 representa números positivos.
• 1 representa números negativos.

Existen tres formas principales de representar cantidades en la computadora: magnitud verdadera , complemento a 1 y complemento a 2 . Cada una de estas representaciones tiene su utilidad específica dentro del ámbito computacional.

1.1 Magnitud Verdadera

En la representación de magnitud verdadera , los bits se muestran tal como son, sin alteraciones. Una característica clave de esta forma de representación es que permite determinar fácilmente el equivalente decimal de un número binario utilizando la representación exponencial . Sin embargo, esta representación no es ampliamente utilizada en operaciones aritméticas debido a su limitada eficiencia en cálculos complejos.

1.2 Complemento a 1

El complemento a 1 es una técnica utilizada para representar números negativos en binario. Dado que el sistema binario solo utiliza los dígitos 0 y 1 , el complemento de un bit se define como:

• El complemento de 0 es 1 .
• El complemento de 1 es 0 .

Para obtener el complemento a 1 de un número binario, simplemente se invierten todos los bits, excepto el bit de signo (que generalmente es el bit más a la izquierda). Por ejemplo:

• Si el número binario es $0101$, su complemento a 1 sería 1010.

Este método es útil, pero presenta ciertas limitaciones, especialmente al realizar operaciones aritméticas.

1.3 Complemento a 2

El complemento a 2 es la representación más comúnmente utilizada para números negativos en la computadora. Se obtiene sumando 1 al bit menos significativo del complemento a 1. Este proceso asegura que las operaciones aritméticas sean más eficientes y consistentes.

Por ejemplo:

1. Supongamos el número binario 0101 (5 en decimal).
2. Su complemento a 1 sería 1010.
3. Para obtener el complemento a 2, sumamos 1 al bit menos significativo: 1010 + 1 = 1011.

El complemento a 2 permite que las restas se conviertan en sumas, simplificando las operaciones internas de la computadora. Cuando se suma un número positivo con uno negativo, la cantidad negativa se complementa a 2 antes de realizar la suma.

2. Operaciones Aritméticas y Desbordamiento

2.1 Sumas y Restas

La computadora no realiza restas directamente; en su lugar, convierte las restas en sumas utilizando el complemento a $2$. Por ejemplo:

• Si queremos calcular $A - B$ , la computadora transforma $B$ en su complemento a $2$ y luego suma $A + (-B)$.

2.2 Desbordamiento

Un problema común en las operaciones aritméticas es el desbordamiento, que ocurre cuando el resultado de una operación excede la capacidad de almacenamiento definida para una variable. Por ejemplo:

• Supongamos que las variables $A$ y $B$ están definidas como enteros de 8 bits.
• Si $A = 225$ y $B = 76$, al intentar calcular $C = A + B$, el resultado en binario sería $100101101$, que requiere 9 bits. Esto provoca un desbordamiento, ya que la variable $C$ solo puede almacenar 8 bits.

El desbordamiento solo ocurre cuando ambas cantidades a sumar tienen el mismo signo, ya que el resultado puede requerir más bits para ser representado. Para evitar este problema, es necesario definir las variables con una capacidad mayor, como 16 bits o más, dependiendo de las necesidades del programa.

3. Operaciones con Números Fraccionarios

Es posible realizar operaciones aritméticas con números que tienen una parte entera y una parte fraccionaria utilizando el complemento a $2$. Sin embargo, el desbordamiento solo puede ocurrir en la parte entera, ya que las operaciones se realizan de derecha a izquierda. Para evitar problemas, es crucial trabajar con un número suficiente de bits.

• Para obtener el complemento a 1 , se invierte cada bit, independientemente de si pertenece a la parte entera o fraccionaria.
• Para encontrar el complemento a 2 , se suma 1 al bit menos significativo, ya sea en la parte entera o fraccionaria. Solo se aplica el complemento a 2 a cantidades negativas y a resultados negativos de las sumas.

4. Sistemas Numéricos y su Papel en la Comunicación Humano-Máquina

Cuando utilizamos un cajero automático para retirar dinero, realizamos una serie de pasos que parecen sencillos desde nuestra perspectiva. Insertamos la tarjeta, ingresamos nuestra clave personal (generalmente un conjunto de números), seleccionamos la operación deseada (como retiro, consulta de saldo o depósito) y especificamos el monto a retirar. Finalmente, la computadora del cajero entrega el dinero y nos pregunta si deseamos realizar otra transacción.

Aunque este proceso parece directo para nosotros, detrás de escena ocurre algo mucho más complejo. Estamos proporcionando información a la computadora del cajero en un formato que entendemos, pero que no es directamente comprensible para la máquina. La computadora opera exclusivamente en lenguaje binario , es decir, utilizando combinaciones de ceros y unos . Por ejemplo, si solicitamos retirar $500.00, los dígitos “5” y “0” no tienen significado para la computadora. Es necesario convertir esa cantidad al sistema binario para que pueda procesarla.

Además, otro detalle importante es que la única operación aritmética que realiza la computadora internamente es la suma . Esto significa que incluso operaciones como restas, multiplicaciones o divisiones se llevan a cabo mediante sumas específicas. Por ejemplo, para restar $500 del saldo de una cuenta, la computadora utiliza el complemento a 2 del número negativo en binario y luego realiza una suma. Este proceso permite que todas las operaciones se reduzcan a una secuencia de sumas.

4.1 El Papel de los Sistemas Numéricos en la Computación

En este capítulo hemos explorado cómo las computadoras manejan y procesan información utilizando diferentes sistemas numéricos. Aunque el sistema binario es el lenguaje natural de las computadoras, también hemos abordado otros sistemas, como el decimal , octal y hexadecimal , así como sistemas hipotéticos con bases como 13, 15 o 23. Todos estos sistemas comparten características comunes, ya que son posicionales y siguen principios similares en cuanto a representación y conversión.

Importancia del Sistema Binario

El sistema binario es fundamental porque es el lenguaje básico de las computadoras. Sin embargo, trabajar directamente con cadenas largas de ceros y unos puede ser complicado para los humanos. Por esta razón, los sistemas octal y hexadecimal son ampliamente utilizados en la computación, ya que permiten compactar la información de manera eficiente.

Por ejemplo, la conversión entre hexadecimal y binario es directa y no requiere operaciones aritméticas complejas. Consideremos el siguiente caso:

• El número hexadecimal 9C4A(16) equivale a 1001 1100 0100 1010(2) en binario.
• Esto significa que, en lugar de trabajar con una cadena larga de bits, podemos representar la misma información de manera más compacta utilizando el sistema hexadecimal. Esta facilidad de conversión hace que los sistemas octal y hexadecimal sean ideales para interactuar con la computadora sin perder claridad ni eficiencia.

4.2 Ventajas de los Sistemas Octal y Hexadecimal

Los sistemas octal y hexadecimal actúan como lenguajes intermedios entre las computadoras y los seres humanos. Mientras que el sistema binario es demasiado detallado y extenso para ser manejado fácilmente por personas, los sistemas octal y hexadecimal ofrecen una solución práctica al permitir representar grandes cantidades de información en cadenas más cortas y legibles.

Además, en algunas versiones de computadoras, la comunicación no se realiza mediante lenguajes de alto nivel como Basic , Pascal , C o Java , sino que se utilizan directamente instrucciones basadas en sistemas numéricos como el octal o el hexadecimal. Esto se debe a que:

• Son fáciles de interpretar por la computadora.
• Son relativamente sencillos de visualizar y entender por los programadores.
• No requieren cadenas extensas de ceros y unos.

Por ejemplo, en lugar de escribir una larga secuencia binaria, un programador puede utilizar un número hexadecimal para representar la misma información de manera más compacta. Esta característica mejora la eficiencia tanto en la escritura de código como en la ejecución de programas.