1. Sistemas numéricos

A lo largo de la historia, las civilizaciones antiguas desarrollaron sistemas para representar cantidades utilizando símbolos que reflejaban su entorno y necesidades. Los primeros pobladores empleaban dibujos simples, como rayas, círculos o figuras de animales u objetos, para simbolizar números. Por ejemplo, una manada de siete animales podía representarse con siete rayas o siete dibujos del mismo animal. Sin embargo, a medida que las cantidades crecían, esta práctica se volvía ineficiente. Para simplificar la representación, comenzaron a agrupar varios símbolos en uno solo, compactando así la información.

Un ejemplo notable es el sistema egipcio, un sistema aditivo en el que cada símbolo tenía un valor fijo independiente de su posición. Algunos de los símbolos utilizados por los egipcios eran:

• $| = 1$
• $n = 10$
• $? = 100$

Para representar el número 134, escribían:

$$? n n n | | | | = 134$$

En este sistema, se sumaban los valores de todos los símbolos para obtener la cantidad total. Aunque funcional, este método resultaba impráctico para números grandes o muy pequeños, ya que requería una gran cantidad de símbolos.

Otro ejemplo de sistema aditivo es el sistema romano , que utiliza símbolos como I, V, X, L, C, D y M para representar cantidades. En este sistema, una línea sobre un símbolo multiplica su valor por mil. Al igual que en el sistema egipcio, no importa la posición de los símbolos, sino únicamente su valor individual. Esto significa que los números se forman sumando (o restando, según ciertas reglas) los valores de los caracteres.

1.1 La Evolución hacia los Sistemas Posicionales

Con el paso del tiempo, algunas culturas avanzaron hacia sistemas más eficientes, conocidos como sistemas posicionales . Estos sistemas asignan un valor al símbolo dependiendo de su posición dentro del número, lo que permite representar cantidades de manera más compacta y precisa.

Los babilonios fueron pioneros en adoptar un sistema posicional basado en el movimiento de los astros. Utilizaban un sistema sexagesimal (de base 60), que aún hoy empleamos para medir horas, minutos y segundos. Sin embargo, carecían de un símbolo específico para el cero, lo que generaba ambigüedades en la representación de ciertas cantidades.

Por otro lado, la cultura maya hizo una contribución fundamental al desarrollar un sistema numérico posicional de base 20 que incluía un símbolo para el cero. Este avance fue crucial para el funcionamiento eficiente de cualquier sistema posicional. Los mayas combinaban puntos y rayas para crear sus símbolos básicos, y organizaban estos símbolos verticalmente, asignando potencias de 20 según su posición. Por ejemplo:

• El símbolo en la posición más baja se multiplica por $20^0$.
• El siguiente nivel hacia arriba se multiplica por $20^1$, y así sucesivamente.

Al sumar los valores obtenidos en cada posición, se llega al número final. Este enfoque demuestra cómo la posición de un símbolo determina su valor, un principio clave de los sistemas posicionales.

2. Sistemas Numéricos Modernos

Hoy en día, los sistemas posicionales son la norma debido a su eficiencia y versatilidad. Ejemplos comunes incluyen los sistemas decimal (base 10), binario (base 2), octal (base 8) y hexadecimal (base 16). En estos sistemas, el valor de un símbolo depende tanto de su posición como de la base del sistema. La base representa la cantidad de símbolos diferentes disponibles en el sistema.

El sistema decimal es el más utilizado en la vida cotidiana, mientras que el binario es esencial en la informática, ya que los ordenadores procesan información utilizando únicamente dos estados: 0 y 1. Los sistemas octal y hexadecimal también son relevantes en campos como la programación y la ingeniería, ya que permiten representar números binarios de forma más compacta.

2.1 Sistema decimal

El sistema decimal es el método más comúnmente utilizado para representar cantidades en nuestra vida diaria. Este sistema emplea diez símbolos diferentes :

$$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.$$

Con estos símbolos, podemos expresar números hasta el 9 de manera directa. Sin embargo, para representar valores mayores o incluso fracciones, es necesario recurrir a la representación posicional . En este enfoque, el valor de cada dígito depende de su posición dentro del número. Por ejemplo, consideremos el número 4,273.85 :

• En la parte entera, el dígito $4$ tiene un valor posicional de $1,000$, el $2$ tiene un valor posicional de $100$, el $7$ de $10$ y el $3$ de $1$.
• En la parte fraccionaria, el dígito $8$ tiene un valor posicional de $0.1$, y el $5$ de $0.01$.

Esto significa que el número $4,273.85$ puede descomponerse como:

$$4×1,000+2×100+7×10+3×1+8×0.1+5×0.01$$

Usando notación exponencial, esta descomposición se expresa de la siguiente manera:

$$4×10^3+2×10^2+7×10^1+3×10^0+8×10−1+5×10^{-2}$$

A esta forma de escritura se le conoce como representación exponencial . Es una herramienta clave para comprender cómo funcionan los sistemas numéricos posicionales y permite convertir números de otros sistemas (como binario, octal o hexadecimal) al sistema decimal.

Valor Posicional y Base del Sistema

El valor posicional de cada dígito está determinado por un exponente que sigue una secuencia lógica:

• Para la parte entera, los exponentes aumentan de derecha a izquierda, comenzando desde 0 en la posición inmediata al punto decimal. Por ejemplo, en el número 4,273.85 :
  • El 3 está en la posición $10^0$ (unidades).
  • El 7 está en la posición $10^1$ (decenas).
  • El 2 está en la posición $10^2$ (centenas).
  • El 4 está en la posición $10^3$ (millares).
• Para la parte fraccionaria, los exponentes disminuyen de izquierda a derecha, tomando valores negativos. Por ejemplo:
  • El 8 está en la posición $10^{-1}$ (décimas).
  • El 5 está en la posición $10^{-2}$ (centésimas).

La base de este sistema es 10, ya que utiliza diez símbolos distintos para representar cantidades. Esta característica lo convierte en un sistema aritmético de base 10, ampliamente utilizado debido a su simplicidad y practicidad.

2.2 Sistemas binario

El sistema binario es un sistema numérico que utiliza únicamente dos símbolos: 0 y 1. Al igual que en el sistema decimal, donde se emplean exponentes para representar cantidades mayores, en el sistema binario también se utiliza una notación posicional. Sin embargo, mientras que la base del sistema decimal es 10, la base del sistema binario es 2.

La representación exponencial es una herramienta clave para convertir números de cualquier sistema numérico al sistema decimal. Este método permite descomponer un número en función de potencias de su base. Por ejemplo, en el sistema binario, cada dígito (bit) tiene un valor determinado por su posición relativa al punto binario. A continuación, se explica cómo realizar esta conversión.

Notación de Base y Representación Exponencial

Para evitar confusiones entre sistemas numéricos, indicaremos explícitamente la base de un número utilizando un subíndice entre paréntesis. Por ejemplo, el número binario 10011.01 se denota como $10011.01_{(2)}$​, donde el subíndice (2) indica que está en base 2. De manera similar, un número decimal como $19.25$ se escribiría como $19.25_{(10)}$​.

En la representación exponencial, los valores posicionales en el sistema binario corresponden a potencias de 2. Por ejemplo, el número binario $10011.01_{(2)}$ puede descomponerse como sigue:

$$1×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0+0×2^{-1}+1×2^{-2}$$

Simplificando esta expresión, obtenemos:

$$16+0+0+2+1+0+0.25=19.25$$

Por lo tanto, $10011.01_{(2)}=19.25_{(10)}$. Como se observa, cualquier cantidad multiplicada por cero no contribuye al resultado final, por lo que estos términos pueden omitirse en los cálculos.

Conversión de Decimal a Binario

Para convertir un número decimal con parte entera y fraccionaria a su equivalente en binario, se emplean métodos específicos para cada parte:

• Parte Entera : La parte entera del número se divide sucesivamente entre 2, registrando los residuos (0 o 1) en cada paso. Los residuos obtenidos se leen en orden inverso (de abajo hacia arriba) para formar la representación binaria.

• Parte Fraccionaria : La parte fraccionaria se multiplica por 2 repetidamente, extrayendo la parte entera del resultado en cada paso. Estas partes enteras conforman la representación binaria de la fracción, en el mismo orden en que aparecen.

A continuación, ilustramos este proceso con un ejemplo práctico.

Ejemplo de Conversión

Supongamos que deseamos convertir el número decimal $19.25_{(10)}$ a su equivalente en binario:

1. Conversión de la Parte Entera (19): Dividimos sucesivamente entre 2:

   • 19÷2=9 residuo 1
   • 9÷2=4 residuo 1
   • 4÷2=2 residuo 0
   • 2÷2=1 residuo 0
   • 1÷2=0 residuo 1

   Leyendo los residuos de abajo hacia arriba, obtenemos $10011_{(2)}$.

2. Conversión de la Parte Fraccionaria (0.25): Multiplicamos sucesivamente por 2:

   • 0.25×2=0.5 (parte entera: 0)
   • 0.5×2=1.0 (parte entera: 1)

   Las partes enteras, en el orden en que aparecen, forman $01_{(2)}$​. Combinando ambas partes, obtenemos:

$$19.25_{(10)}=10011.01_{(2)}$$

2.3 Sistema octal

Las reglas utilizadas para realizar operaciones en los sistemas decimal y binario también son aplicables al sistema octal. A continuación, se ilustra cómo estas reglas se emplean en la conversión entre los sistemas octal y binario, destacando su simplicidad y eficiencia.

Conversión Octal-Binario y Binario-Octal

La conversión entre el sistema octal y el sistema binario es relativamente sencilla si se utiliza una tabla de equivalencias que relacione los dígitos octales con sus correspondientes representaciones binarias. Por ejemplo:

Esta tabla permite convertir directamente cada dígito octal a su equivalente binario de tres bits (o viceversa), simplificando significativamente el proceso.

Comparación de Métodos

Es importante señalar que, en algunos casos, pueden surgir pequeñas diferencias entre ambos métodos. Estas discrepancias generalmente ocurren debido a:

• Redondeo : Al convertir un número octal a decimal y luego a binario, las aproximaciones durante el redondeo pueden afectar la precisión del resultado.
• Límite en la parte fraccionaria : Se acordó calcular únicamente los primeros cuatro dígitos de la parte fraccionaria, lo que puede introducir variaciones mínimas.

A pesar de estas posibles diferencias, es fundamental destacar que las discrepancias solo afectan la parte fraccionaria del número, mientras que la parte entera permanece inalterada.

2.4 Sistema hexadecimal

El sistema hexadecimal es un sistema numérico cuya base es 16 , lo que significa que utiliza 16 símbolos distintos para representar cantidades. Estos símbolos incluyen los diez dígitos del sistema decimal (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) junto con las seis primeras letras del alfabeto (A, B, C, D, E, F). Estas letras representan valores específicos:

• A = 10
• B = 11
• C = 12
• D = 13
• E = 14
• F = 15

Al igual que en otros sistemas numéricos posicionales, como el decimal, binario u octal, los números en hexadecimal se forman siguiendo el principio de valor posicional . Esto implica que el valor de cada símbolo depende de su posición dentro del número, multiplicado por una potencia de 16 según dicha posición.

Características del Sistema Hexadecimal

En este sistema, los valores válidos van desde 0 hasta 15 , donde los números del 0 al 9 se representan con sus respectivos dígitos decimales, mientras que los valores del 10 al 15 se representan mediante las letras A, B, C, D, E y F. Esta notación permite expresar números grandes de manera más compacta en comparación con otros sistemas, como el binario.

Conversión entre Binario y Hexadecimal

La conversión entre el sistema binario y el sistema hexadecimal es particularmente sencilla gracias a la relación directa entre ambos sistemas. Cada dígito hexadecimal puede representarse mediante un grupo de cuatro bits en binario. Por ejemplo, el número hexadecimal A (que equivale a 10 en decimal) se representa en binario como 1010.

Para facilitar estas conversiones, se puede utilizar una tabla de equivalencias que relacione los valores binarios con sus correspondientes símbolos hexadecimales:

Esta tabla permite realizar conversiones rápidas y precisas entre ambos sistemas, simplificando procesos como la programación o el diseño de circuitos digitales.

3 Operaciones Aritméticas en Sistemas Numéricos

Las operaciones básicas de suma , resta , multiplicación y división que se realizan en el sistema decimal también son aplicables en otros sistemas numéricos, como el binario, octal o hexadecimal. Sin embargo, es fundamental tener en cuenta la base del sistema en el que se está trabajando. Además, para realizar cualquier operación aritmética, todas las cantidades involucradas deben estar expresadas en la misma base. Si no es así, será necesario convertirlas antes de proceder.

A continuación, se detallan los procedimientos generales para realizar estas operaciones en diferentes sistemas numéricos, destacando las similitudes y diferencias con respecto al sistema decimal.

3.1 Suma

El proceso de suma en cualquier sistema numérico sigue las mismas reglas que en el sistema decimal, con la diferencia de que los resultados deben ajustarse a los dígitos válidos del sistema en cuestión.
Procedimiento General:

1. Suma Columna por Columna : Se suman los dígitos de cada columna, comenzando desde la derecha.
2. Validación del Resultado : Si el resultado de la suma excede el dígito mayor del sistema (por ejemplo, 9 en decimal, 1 en binario, 7 en octal o 15 en hexadecimal), se divide el resultado entre la base del sistema.
   • El cociente se lleva a la siguiente columna izquierda.
   • El residuo se coloca debajo de la línea en la columna actual.
3. Espacios Vacíos : Los espacios vacíos en una columna se consideran como 0, ya que este es el dígito válido más pequeño en cualquier sistema.

Por ejemplo, en el sistema decimal, si al sumar dos dígitos obtenemos un resultado de 15, dividimos 15 entre 10 (la base). El cociente (1) se suma a la siguiente columna, y el residuo (5) se coloca en la columna actual.

Este mismo principio se aplica a otros sistemas. Por ejemplo: En el sistema binario, si el resultado es 2 (inválido en binario), se divide entre 2. El cociente (1) se lleva a la siguiente columna, y el residuo (0) se coloca en la columna actual.

3.2 Resta

La resta en sistemas numéricos también sigue un procedimiento similar al del sistema decimal, pero con ajustes específicos para manejar casos donde el sustraendo es mayor que el minuendo.

Procedimiento General :

1. Comparación Inicial : Antes de realizar la resta en una columna, se verifica si el sustraendo es mayor que el minuendo.
   • Si sustraendo > minuendo , se suma la base al minuendo antes de realizar la resta.
   • Si sustraendo ≤ minuendo , simplemente se realiza la resta.
2. Ajuste en la Columna Izquierda : Si se suma la base al minuendo en una columna, se incrementa en 1 el sustraendo de la columna inmediatamente a la izquierda.
3. Repetición : Este proceso se repite para cada columna hasta completar la operación.

Por ejemplo, en el sistema octal (base 8), si al restar en una columna el sustraendo es mayor que el minuendo, se suma 8 al minuendo y se incrementa en 1 el sustraendo de la siguiente columna.

3.3 Multiplicación

La multiplicación en sistemas numéricos sigue un procedimiento similar al del sistema decimal, con la diferencia de que los resultados intermedios deben ajustarse a los dígitos válidos del sistema.

Procedimiento General :

1. Multiplicación Columna por Columna : Se multiplica cada dígito del multiplicador por el multiplicando, comenzando desde la derecha.
2. Validación del Resultado : Si el resultado de una multiplicación excede el dígito mayor del sistema, se divide entre la base del sistema.
   • El cociente se lleva a la siguiente columna izquierda.
   • El residuo se coloca en la columna actual.
3. Suma de Resultados Parciales : Los resultados parciales se suman siguiendo las reglas de suma del sistema.

Por ejemplo, en el sistema binario, al multiplicar 1 por cualquier número, se obtiene el mismo número. Al multiplicar 0 por cualquier número, se obtiene 0. Esto simplifica significativamente las operaciones.

3.4 División

La división es la operación más compleja, ya que involucra tanto la resta como la multiplicación. Para facilitar el proceso, se recomienda utilizar el método conocido como división desarrollada , que separa claramente las etapas de multiplicación y resta.

Procedimiento General :

1. División Paso a Paso : Se divide el dividendo entre el divisor, comenzando desde el dígito más significativo.
2. Multiplicación Parcial : Se multiplica el divisor por un dígito del cociente y se resta el resultado del dividendo parcial.
3. Bajada de Dígitos : Se baja el siguiente dígito del dividendo y se repite el proceso hasta completar la operación.
4. Ajuste de Base : Si en algún paso se requiere restar un número mayor que el disponible, se ajusta sumando la base correspondiente.

Este método permite realizar divisiones incluso en sistemas menos familiares, como el octal o hexadecimal, sin perder claridad en el proceso.