1. Relaciones

Una relación es una conexión entre elementos de uno o más conjuntos. Por ejemplo, sabemos lo que significa que un número sea mayor que otro. Podemos pensar en la relación “mayor que” como la propiedad compartida por todos los pares de números que cumplen esta condición. Sin embargo, las relaciones no se limitan solo a números; también pueden existir entre personas, objetos o cualquier tipo de entidad. Por ejemplo, la relación de “amistad” podría definirse como el conjunto de pares de personas que son amigos.

En matemáticas modernas, las relaciones abstractas se formalizan utilizando la teoría de conjuntos. En lugar de pensar en una relación como una propiedad abstracta, la representamos como un conjunto de pares ordenados . Es decir, una relación entre dos conjuntos $A$ y $B$ es un subconjunto del producto cartesiano $A×B$. Nos centraremos principalmente en relaciones binarias , que son relaciones entre dos elementos, representadas como pares ordenados.

Ejemplo 1: Relación entre Personas y Ciudades

Consideremos un ejemplo concreto: una relación entre personas y las ciudades donde viven. Supongamos que tenemos los siguientes conjuntos:

• $P=\{Ana, Bruno, Carlos, Diana\}$: un conjunto de personas.
• $C=\{Madrid, Barcelona, Valencia, Sevilla\}$: un conjunto de ciudades.

La relación R describe dónde vive cada persona. Podemos expresar esta relación como un conjunto de pares ordenados:

$$R=\{(Ana, Madrid),(Bruno, Barcelona),(Carlos, Valencia),(Diana, Sevilla)\}$$

Este es un ejemplo simple de una relación funcional , ya que cada persona está asociada con exactamente una ciudad, y cada ciudad tiene asociada a lo sumo una persona.

Ejemplo 2: Relación entre Estudiantes y Asignaturas

Un ejemplo más general sería la relación entre estudiantes y las asignaturas que están cursando. Supongamos que tenemos los siguientes conjuntos:

$$E=\{Laura, Pedro, Sofia, Juan\} \text{ = Un conjunto de estudiantes. }$$ $$A=\{Matematicas, Fisica, Quimica, Historia\} \text{ = Un conjunto de asignaturas. }$$

La relación $S$ describe qué asignaturas está tomando cada estudiante. Por ejemplo:

$$S=\{ (Laura, Matematicas), (Laura, Fisica), (Pedro, Matematicas), (Pedro, Quimica), (Sofia, Fisica), (Juan, Historia)\}$$

En este caso, cada estudiante puede estar inscrito en más de una asignatura, y cada asignatura puede tener varios estudiantes inscritos. Por ejemplo:

• Laura está inscrita en dos asignaturas: Matemáticas y Física.
• La asignatura de Matemáticas tiene dos estudiantes inscritos: Laura y Pedro.

Podemos visualizar esta relación mediante un diagrama de flechas, donde cada estudiante apunta a las asignaturas que está cursando.

1.1 Relaciones Definidas por Reglas

En lugar de enumerar explícitamente los pares de una relación, podemos describirla mediante una regla. Por ejemplo, la relación “cumpleaños” entre el conjunto $P$ de todas las personas y el conjunto $D$ de todas las fechas puede definirse como:

$$B=\{(p,d):la persona p nacioˊ en la fecha d\}$$

Otro ejemplo numérico sería la relación que describe un círculo de radio 1 centrado en el origen en el plano cartesiano. Esta relación puede escribirse como:

$$C=\{(x,y)∈R×R:x2+y2=1\}$$

Esta relación incluye todos los puntos $(x,y)$ que satisfacen la ecuación del círculo.

1.2 Inversa de una Relación

La inversa de una relación $R⊆A×B$ es otra relación $R−1⊆B×A$, definida como:

$$R−1=\{(y,x):(x,y)∈R\}$$

Es decir, la inversa de una relación se obtiene invirtiendo el orden de los pares ordenados. Por ejemplo, si la relación R describe quién vive en qué ciudad, entonces $R−1$ describe qué ciudad tiene qué residente.

2. Funciones

Una función es un tipo especial de relación binaria. Mientras que una relación puede asociar un elemento de un conjunto con varios elementos de otro, una función tiene la propiedad de que cada elemento del primer conjunto está asociado con exactamente un elemento del segundo conjunto. Esto significa que una función asigna un valor único a cada entrada.

Formalmente, una función $f$ de un conjunto $A$ a un conjunto $B$ es una relación $f⊆A×B$ con la siguiente propiedad: Para cada $x∈A$, existe un único $y∈B$ tal que $(x,y)∈f$.

Este valor único $y$ se denota como $f(x)$, y decimos que $y=f(x)$ es el valor de $f$ en el argumento $x$. En otras palabras, una función mapea cada elemento del conjunto $A$ (llamado dominio ) a exactamente un elemento del conjunto $B$ (llamado codominio ).

Ejemplo 1: Asignación de Ciudades a Personas

Consideremos un ejemplo práctico. Supongamos que tenemos un conjunto de personas P y un conjunto de ciudades C:

$$P=\{Ana, Bruno, Carlos, Diana\}$$ $$C=\{Madrid, Barcelona, Valencia, Sevilla\}$$

La relación $f$ describe la ciudad donde vive cada persona. Por ejemplo:

$$f(Ana)=Madrid,f(Bruno)=Barcelona,f(Carlos)=Valencia,f(Diana)=Sevilla.$$

Esta relación es una función porque cada persona está asociada con exactamente una ciudad. Podemos escribir esto formalmente como $f:P→C$, donde $P$ es el dominio y $C$ es el codominio.

Ejemplo 2: Relación de Estudiantes y Asignaturas

Supongamos que queremos modelar la relación entre estudiantes y las asignaturas que están cursando. Si consideramos los siguientes conjuntos:

$$E=\{Laura, Pedro, Sofia, Juan\}: un conjunto de estudiantes.$$ $$A=\{Matematicas, Fisica, Quimica, Historia\}: un conjunto de asignaturas.$$

La relación $R$ podría describir qué asignaturas está tomando cada estudiante:

$$R=\{(Laura, Matematicas),(Laura, Fisica),(Pedro, Matematicas),(Pedro, Quimica),…\}$$

Sin embargo, esta relación no es una función porque un estudiante puede estar inscrito en múltiples asignaturas. Para convertir esta relación en una función, podemos modificarla para que cada estudiante esté asociado con el conjunto de asignaturas que está cursando. Por ejemplo:

$$e(Laura)=\{Matematicas, Fisica\},e(Pedro)=\{Matematicas, Quimica\}$$

Aquí, $e:E→P(A)$, donde $P(A)$ es el conjunto potencia de $A$, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de $A$.

2.1 Dominio y Codominio

El dominio de una función $f:A→B$ es el conjunto $A$, que contiene todos los elementos para los cuales $f$ está definida. El codominio es el conjunto $B$, que incluye todos los posibles valores que $f$ puede tomar, aunque no necesariamente todos los elementos de $B$ sean alcanzados por $f$.

Por ejemplo, consideremos la función $f(x)=x2$, donde x es un entero ($x∈Z$):

• El dominio es $Z$.
• El codominio puede ser $N$ (los números naturales) o $Z$ (los enteros), ya que los cuadrados de los enteros siempre son no negativos.

Otro ejemplo es la función $g(x)=2x$, donde $x∈Z$:

• El dominio es $Z$.
• El codominio es el conjunto de todos los números pares en $Z$.

2.2 Imagen de un Conjunto bajo una Función

La imagen de un conjunto A⊆S bajo una función f:S→T es el conjunto de todos los valores que f asigna a los elementos de A. Formalmente:

$$f[A]=\{f(x):x∈A\}⊆T$$

Por ejemplo, para la función $f(x)=x2$ con $x∈Z$:

• La imagen de $Z$ es el conjunto de cuadrados perfectos: $$f[Z]=\{0,1,4,9,16,…\}$$

Si consideramos el conjunto de números pares E⊆Z, entonces la imagen de E bajo f es el conjunto de cuadrados perfectos pares:

$$f[E]=\{0,4,16,36,…\}$$

2.3 Funciones Parciales vs. Funciones Totales

En algunos casos, una función no está definida para todos los elementos de su dominio. Por ejemplo, considere la función $f(x)=x1$. Esta función no está definida para $x=0$, ya que la división por cero es indefinida. Por lo tanto, el dominio de $f$ es $R-{0}$, y escribimos $f:R-\{0\}→R$.

En términos alternativos, una función que no está definida para todo el dominio se llama función parcial , mientras que una función definida para todos los elementos del dominio se llama función total . Por ejemplo, $f(x)=x1$ es una función parcial de $R$ a $R$.

2.4 Funciones Inyectivas

Una función inyectiva , también conocida como función uno a uno , es una función que asigna a cada elemento del codominio un valor único del dominio. Formalmente, una función $f:A→B$ es inyectiva si cumple la siguiente propiedad:

$$f(x1​)=f(x2​)⟹x1​=x2​para todo x1​,x2​∈A.$$

En otras palabras, no existen dos elementos distintos en el dominio que tengan la misma imagen en el codominio.

Ejemplo 1: Función de Sucesores
Consideremos la función $f:Z→Z$ definida por $f(n)=n+1$, donde $Z$ es el conjunto de los números enteros. Esta función es inyectiva porque para cualquier número entero $m$, existe un único $n$ tal que $f(n)=m$. Por ejemplo, si $m=5$, entonces $n=4$.

Ejemplo 2: Función Cuadrática
Ahora consideremos la función $g:N→N$ definida por $g(n)=n2$, donde $N$ es el conjunto de los números naturales. Esta función es inyectiva en este dominio porque cada número natural tiene un cuadrado único. Sin embargo, si extendemos el dominio a los números enteros ($Z$), la función deja de ser inyectiva, ya que $g(-1)=g(1)=1$.

2.5 Inversa de una Función Inyectiva

Toda función inyectiva tiene una función inversa , denotada como $f−1$, que “deshace” la acción de $f$. Formalmente, si $f:A→B$ es inyectiva, entonces su inversa $f−1:f[A]→A$ satisface:

$$f(f-1(y))=ypara todo y∈f[A].$$

La función inversa se define como:

$$f−1(y)=xdonde f(x)=y.$$

Ejemplo 3: Función Inversa Supongamos que tenemos una función $f:P→C$ que asigna personas a ciudades:

$$f(Ana)=Madrid,f(Bruno)=Barcelona.$$

La inversa $f−1$ asigna ciudades a personas:

$$f−1(Madrid)=Ana,f−1(Barcelona)=Bruno.$$

Es importante notar que el dominio de $f−1$ puede ser un subconjunto del codominio de $f$, ya que no todos los elementos del codominio necesariamente tienen una preimagen en el dominio.

2.6 Relación con el Principio del Palomar

El Principio del Palomar puede expresarse en términos de funciones inyectivas. Si $A$ y $B$ son conjuntos finitos y $|A| > |B|$, entonces no existe una función inyectiva $f:A→B$. Esto se debe a que, si intentamos asignar cada elemento de $A$ a un elemento de $B$, al menos dos elementos de $A$ deben compartir la misma imagen en $B$.

Alternativamente, en forma contrapositiva: Si $f:A→B$ es inyectiva y $A$ y $B$ son conjuntos finitos, entonces:

$$|A| > |B|.$$

Ejemplo 4: Aplicación del Principio del Palomar
Supongamos que tenemos 10 estudiantes ($A$) y 9 computadoras ($B$). Si intentamos asignar una computadora a cada estudiante mediante una función $f:A→B$, el Principio del Palomar garantiza que al menos dos estudiantes compartirán la misma computadora, ya que $|A| > |B|$.

2.7 Funciones Sobreyectivas

Una función $f:A→B$ es sobreyectiva si cada elemento del codominio $B$ es la imagen de al menos un elemento del dominio $A$. Formalmente, $f$ es sobreyectiva si:

$$∀y∈B,∃x∈A tal que f(x)=y.$$

Esto significa que el codominio de $f$ coincide con su imagen , es decir, $f[A]=B$.

En términos gráficos, una función es sobreyectiva si en un diagrama de flechas (blob-and-arrow), cada elemento del codominio tiene al menos una flecha apuntando hacia él.

Ejemplo: Función de Asignación de Roles
Supongamos que tenemos un conjunto de personas $P$ y un conjunto de roles $R$:

$$P=\{Ana, Bruno, Carlos, Diana\}, R=\{Lider, Secretario, Tesorero\}$$

La función $f:P→R$ asigna a cada persona un rol. Si todos los roles están cubiertos (por ejemplo, Ana es Líder, Bruno es Secretario y Carlos es Tesorero), entonces $f$ es sobreyectiva porque todos los elementos de $R$ tienen al menos una preimagen en $P$.

Ejemplo: Función Cuadrática en Números Reales
Consideremos la función $g:R→R+∪{0}$, donde $g(x)=x2$. Esta función es sobreyectiva porque para cualquier número no negativo $y∈R+∪{0}$, existe un $x∈R$ tal que $x^2=y$. Por ejemplo, si $y=4$, entonces $x=2$ o $x=−2$.

Sin embargo, si extendemos el codominio a todos los números reales ($R$), la función deja de ser sobreyectiva, ya que no hay ningún $x$ tal que $x2=−1$.

2.8 Funciones Biyectivas

Una función $f:A→B$ es biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva . Esto significa que:

Cada elemento de $A$ se asigna a un único elemento de $B$ (inyectividad). Cada elemento de $B$ tiene exactamente una preimagen en $A$ (sobreyectividad).

Formalmente, $f$ es biyectiva si: $∀y∈B,∃!x∈A tal que f(x)=y$.

Gráficamente, en un diagrama de flechas, una función biyectiva asegura que cada elemento del codominio tiene exactamente una flecha apuntando hacia él.

Ejemplo: Función Sucesora
La función sucesora $f:Z→Z$, definida por $f(n)=n+1$, es biyectiva. Para cada entero $m$, existe un único $n$ tal que $f(n)=m$. La inversa de esta función es $f−1(m)=m−1$, comúnmente conocida como la función predecesora.

Ejemplo: Función de Duplicación
Consideremos la función $f:Z→E$, donde $E$ es el conjunto de números pares, definida por $f(x)=2x$. Esta función es biyectiva porque:

• Es inyectiva: si $f(x1)=f(x2)$, entonces $2x1=2x2$, lo que implica $x_1=x_2$.
• Es sobreyectiva: para cualquier $y∈E$, existe un $x∈Z$ tal que $y=2x$, específicamente $x=2y$​, que es un entero porque $y$ es par.

La inversa de esta función es $f-1(y)=2y$, que también es biyectiva.

2.9 Inversa de una Función Biyectiva

Si $f:A→B$ es una función biyectiva, entonces tiene una función inversa $f^{-1}:B→A$, definida como: $f−1(y)=x$ donde $f(x)=y$.

La función inversa $f^{-1}$ también es biyectiva. Gráficamente, esto equivale a invertir las direcciones de las flechas en un diagrama blob-and-arrow.

Ejemplo: Función de Multiplicación
Sea $f:R^+→R^+$ definida por $f(x)=3x$. Esta función es biyectiva porque:

• Es inyectiva: si $f(x_1)=f(x_2)$, entonces $3x_1=3x_2$, lo que implica $x_1=x_2$.
• Es sobreyectiva: para cualquier $y∈R^+$, existe un $x∈R^+$ tal que $y=3x$, específicamente $x=3y$.

La inversa de esta función es $f-1(y)=\frac{y}{3}$, que también es biyectiva.

2.10 Relación entre Funciones y Cardinalidad de Conjuntos

Cuando trabajamos con conjuntos finitos, las propiedades de las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas nos permiten comparar sus tamaños. Formalmente:

1. Función Inyectiva : Si $f:A→B$ es una función inyectiva, entonces $|A| ≤ |B|$. Esto se debe a que todos los valores $f(x)$, donde $x∈A$, son distintos para diferentes $x$. En otras palabras, no hay dos elementos en $A$ que compartan la misma imagen en $B$.
2. Función Sobreyectiva : Si $f:A→B$ es una función sobreyectiva, entonces $|A| ≥ |B|$. Esto ocurre porque cada elemento de $B$ debe ser la imagen de al menos un elemento de $A$.
3. Función Biyectiva : Si $f:A→B$ es una función biyectiva (es decir, tanto inyectiva como sobreyectiva), entonces $|A| = |B|$. En este caso, existe una correspondencia uno a uno entre los elementos de $A$ y $B$, lo que implica que ambos conjuntos tienen el mismo tamaño.

Ejemplo: Correspondencia entre Estudiantes y Asientos
Supongamos que tenemos un conjunto de estudiantes $E=\{Ana, Bruno, Carlos\}$ y un conjunto de asientos en un aula $S=\{Asiento1, Asiento2, Asiento3\}$. Si asignamos a cada estudiante un asiento único mediante una función $f:E→S$, esta función es biyectiva si:

• Cada estudiante tiene un asiento ($f$ es sobreyectiva).
• Ningún asiento está ocupado por más de un estudiante ($f$ es inyectiva).

En este caso, concluimos que $|E| = |S|=3$.

2.11 Converso del Teorema de la Cardinalidad

El recíproco también es cierto: si dos conjuntos finitos tienen el mismo tamaño, existe una biyección entre ellos. Por ejemplo, consideremos los conjuntos:

$$A=\{Rojo, Verde, Azul\},B=\{Circulo, Cuadrado, Triangulo\}.$$

Podemos definir una función biyectiva $f:A→B$ tal que:

$$f(Rojo)=Circulo,f(Verde)=Cuadrado,f(Azul)=Triangulo.$$

Esta función establece una correspondencia uno a uno entre los elementos de $A$ y $B$, demostrando que $|A| = |B|$.

2.12 Extensión a Conjuntos Infinitos

La idea de comparar tamaños de conjuntos mediante biyecciones no solo aplica a conjuntos finitos, sino también a conjuntos infinitos. Esto puede llevar a resultados contraintuitivos. Por ejemplo:

• Existe una biyección entre el conjunto de números enteros $Z$ y el conjunto de números pares $P=\{2n:n∈Z\}$. Una posible función biyectiva es $f(n)=2n$, que mapea cada entero n a su doble.
• Aunque los números pares son un subconjunto propio de los enteros, ambos conjuntos tienen “el mismo tamaño” en términos de cardinalidad infinita.

Este concepto es fundamental en teoría de conjuntos y permite distinguir entre diferentes tipos de infinitos, como los numerables (como $Z$) y los no numerables (como $R$).

2.13 Teorema de Composición de Funciones Biyectivas

Si existen biyecciones entre tres conjuntos $A$, $B$ y $C$, entonces podemos establecer una biyección directa entre $B$ y $C$. Este resultado formaliza la idea de que los conjuntos relacionados biyectivamente comparten una “familia de similitud”.

Teorema : Sean $A$, $B y$C$conjuntos cualesquiera. Supongamos que existen biyecciones$f:A→B$y$g:A→C$. Entonces, existe una biyección$h:B→C$$.

Demostración :

• Como $f$ es biyectiva, su inversa $f−1:B→A$ también es biyectiva.
• Definimos $h:B→C$ como $h(y)=g(f−1(y))$ para cualquier $y∈B$.
  • Para cada $y∈B$, primero aplicamos $f−1$ para encontrar el elemento correspondiente en $A$, y luego aplicamos $g$ para mapearlo a $C$.
• $h$ es inyectiva porque elementos distintos en $B$ corresponden a elementos distintos en $A$ bajo $f−1$, que a su vez corresponden a elementos distintos en $C$ bajo $g$.
• $h$ es sobreyectiva porque para cualquier $z∈C$, podemos encontrar $y∈B$ tal que $h(y)=z$.

Por lo tanto, $h$ es una biyección entre $B$ y $C$.

2.14 Composición de Funciones

El proceso de combinar funciones para crear nuevas funciones se llama composición . Si $f:A→B$ y $g:C→D$, y $f[A]⊆C$, entonces la composición $g∘f:A→D$ se define como: $(g∘f)(a)=g(f(a))$ para cualquier $a∈A$.

En la demostración del Teorema, usamos la composición $h=g∘f−1$, lo que muestra cómo las operaciones sobre funciones pueden generar nuevas relaciones entre conjuntos.

2.15 Funciones con Múltiples Argumentos

Una función puede tener más de un argumento. Por ejemplo, la multiplicación puede verse como una función de dos argumentos:

$$M:Z×Z→Z,M(m,n)=m⋅n$$

Por ejemplo, $M(3,−5)=−15$. Esta notación se llama notación infija cuando el símbolo de la función (como $⋅$) se coloca entre los argumentos.

En general, una función de k-argumentos $f:A1​×A2​×⋯×Ak​→B$ toma $k$ entradas y produce una salida. Para simplificar, escribimos $f(x1​,x2​,…,xk​)=y$ en lugar de $f(⟨x1​,x2​,…,xk​⟩)=y$.