1. Identificación de la Técnica de Prueba Utilizada

Antes de profundizar en las técnicas, es importante que los estudiantes puedan reconocer qué técnica se está utilizando en una demostración dada. Para ello:

• Prueba Directa (Direct Proof): Se utiliza cuando el argumento sigue directamente de las hipótesis a la conclusión.
• Prueba por Contradicción (Proof by Contradiction): Se utiliza cuando se asume lo contrario de lo que se quiere demostrar y se llega a una contradicción.
• Inducción Matemática (Mathematical Induction): Se utiliza cuando se quiere probar que una propiedad es verdadera para todos los números naturales o un conjunto infinito de elementos.

Dado el siguiente argumento : “Supongamos que $\sqrt{2}$ es racional. Entonces podemos escribir $\sqrt{2} = \frac{p}{q'}$, donde $p$ y $q$ son enteros coprimos. Luego, derivamos que tanto $p$ como $q$ son pares, lo cual contradice la suposición de que son coprimos.”

Identificación : Esto es una prueba por contradicción , ya que se asume lo contrario de lo que se quiere demostrar ($\sqrt{2}$ es racional) y se llega a una contradicción.

1.1 Prueba Directa

La estructura de una prueba directa es simple y sigue un razonamiento lógico paso a paso:

• Comienza con las hipótesis dadas.
• Aplica reglas lógicas y definiciones para llegar a la conclusión.

Ejemplo : Probar que si $n$ es un número entero par, entonces $n2$ es también par.

• Hipótesis: $n$ es par, entonces $n=2k$ para algún entero $k$.
• Conclusión: $n^2=(2k)2=4k^2=2(2k^2)$, que es par.

1.2 Prueba por Contradicción

La estructura de una prueba por contradicción es:

• Supón lo contrario de lo que quieres demostrar.
• Deriva una contradicción lógica.
• Concluye que la suposición inicial es falsa.

Ejemplo :
Probar que $\sqrt{2}$ es irracional.

1. Supongamos que $\sqrt{2}$ es racional, entonces $\sqrt{2} = \frac{p}{q'}$, donde p y q son enteros coprimos.
2. Elevando al cuadrado: $\sqrt{2} = \frac{p^2}{q^{2'}}$, lo que implica $p^2=2q^2$. Esto significa que $p^2$ es par, y por lo tanto p es par ($p=2m$).
3. Sustituyendo $p=2m$: $(2m)^2=2q^2$, lo que implica $q^2=2m^2$. Esto significa que $q^2$ es par, y por lo tanto $q$ es par.
4. Contradicción: $p$ y $q$ son ambos pares, pero se supuso que eran coprimos.
5. Conclusión: $\sqrt{2}$ es irracional.

1.3 Inducción Matemática

La inducción matemática tiene dos pasos principales:

• Base de Inducción: Verifica que la propiedad es verdadera para el primer caso (generalmente $n=0$ o $n=1$).
• Paso Inductivo: Supón que la propiedad es verdadera para $n=k$ (hipótesis inductiva) y demuestra que es verdadera para $n=k+1$.

Ejemplo : Probar que $1+2+3+⋯+n=\frac{n(n+1)}{2}$ para todo $n≥1$.

1. Base de Inducción ($n=1$):
   • $1=\frac{1(1+1)}{2}=1$. Verdadero.
2. Paso Inductivo:
   • Supongamos que la fórmula es verdadera para $n=k$: $1+2+⋯+k=\frac{k(k+1)}{2}$.
   • Demostremos para $n=k+1$:
   $$1+2+⋯+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$$ Simplificando: $$\frac{k(k+1)}{2} + (k + 1)=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$
   • Conclusión: La fórmula es verdadera para $n=k+1$.